July 16, 2017

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By Herbert Amann, Joachim Escher

Der zweite Band dieser Einf?hrung in die research behandelt die Integrationstheorie von Funktionen einer Variablen, die mehrdimensionale Differentialrechnung und die Theorie der Kurven und Kurvenintegrale. Der im ersten Band begonnene moderne und klare Aufbau wird konsequent fortgesetzt. Dadurch wird ein tragf?higes Fundament geschaffen, das es erlaubt, interessante Anwendungen zu behandeln, die zum Teil weit ?ber den in der ?blichen Lehrbuchliteratur behandelten Stoff hinausgehen.

Zahlreiche ?bungsaufgaben von unterschiedlichem Schwierigkeitsgrad und viele informative Abbildungen runden dieses Lehrbuch ab.

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Example text

Der Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen liefert deshalb n k=0 Bk 1 = k! (n + 1 − k)! 1, 0, n=0, n ∈ N× . Die Behauptung folgt nun durch Multiplikation dieser Identit¨at mit (n + 1)! (ii) Einerseits finden wir 1 1 e−z − 1 + ez − 1 + −z =z = −z . −1 e −1 1 − ez − e−z + 1 Andererseits gilt die Potenzreihenentwicklung f (z) − f (−z) = z ez ∞ f (z) − f (−z) = k=0 Bk k Bk z − (−z)k = 2 k! k! ∞ k=0 B2k+1 2k+1 z . (2k + 1)! Also erhalten wir aus dem Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen B2k+1 = 0 f¨ ur k ∈ N× .

2aX + b 2 −D −D Mit der Notation des Beweises von (c) finden wir 1 2X + 2a a 1q a X = − = − . 15(c) und (c). 46 VI Integralrechnung in einer Variablen (e) F¨ ur a, b ∈ R mit D := a2 − b = 0 und −a ∈ / I gilt −1 dx = +c . X 2 + 2aX + b X +a Beweis Wegen q = (X + a)2 erhalten wir die Behauptung aus (b). √ D∈ / I gilt √ dx X +a− D 1 √ +c . = √ log X 2 + 2aX + b 2 D X +a+ D (f ) Es seien a, b ∈ R und D := a2 − b > 0. F¨ ur −a ± Beweis Das √quadratische Polynom q besitzt die reellen Nullstellen z1 := −a + z2 := −a − D.

Beweis F¨ ur fast alle j ∈ N gilt yj − xj ∈ P , wobei P der positive Kegel von E ist. 1(b) y − x = lim yj − lim xj = lim(yj − xj ) ∈ P , da P abgeschlossen ist. (e) Es sei X eine nichtleere Menge. 4(c) eingef¨ uhrten punktweisen Ordnung: f ≤ g :⇐ ⇒ f (x) ≤ g(x) , x∈X , f¨ ur f, g ∈ RX . Wir nennen diese Ordnung auch nat¨ urliche Ordnung von RX , und X sie induziert auf jeder Teilmenge M von R wiederum die nat¨ urliche Ordnung von M (vgl. 4(a)). Wird nicht ausdr¨ ucklich etwas anderes gesagt, so wird RX — und damit jeder Untervektorraum hiervon — stets mit der nat¨ urlichen Ordnung versehen.

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